6506. Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается его сторон AB
, BC
и AC
в точках K
, L
и M
соответственно. К окружностям, вписанным в треугольники BKL
, CLM
и AKM
проведены попарно общие внешние касательные, отличные от сторон треугольника ABC
. Докажите, что эти касательные пересекаются в одной точке.
Решение. 1) Докажем сначала, что центры O_{B}
, O_{C}
и O_{A}
окружностей S_{B}
, S_{C}
и S_{A}
, вписанных в треугольники BKL
, CLM
и AKM
соответственно, совпадают с серединами соответствующих дуг окружности S
, вписанной в треугольник ABC
.
Действительно, пусть O_{A}'
— середина меньшей дуги KM
окружности S
(рис. 1). Тогда из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle AKO_{A}'=\angle KMO_{A}'=\angle MKO_{A}'.
Аналогично, \angle AMO_{A}'=\angle KMO_{A}'
, значит, O_{A}'
— точка пересечения биссектрис треугольника AKM
. Следовательно, точки O_{A}'
и O_{A}
совпадают.
Аналогично докажем, что O_{B}
— середина меньшей дуги KL
, а O_{C}
— середина меньшей дуги LM
окружности S
.
2) Докажем, что центр I
окружности S
лежит на общей касательной окружностей S_{A}
и S_{C}
, не совпадающей с прямой AC
(рис. 2).
Из точки I
проведём касательную IP
к окружности S_{A}
так, чтобы она пересекала меньшую дугу O_{A}M
. Аналогичным образом проведём касательную IQ
к окружности S_{C}
.
Биссектриса LI
угла KLM
делит дугу KM
пополам, поэтому точки L
, I
и O_{A}
лежат на одной прямой. Аналогично докажем, что точки M
, I
и O_{C}
лежат на одной прямой.
Положим \angle KLM=2\alpha
, \angle KML=2\gamma
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle O_{A}IM=\angle ILM+\angle IML=\alpha+\gamma.
С другой стороны,
\angle O_{A}MI=\angle O_{A}MK+\angle O_{C}MK=\angle ILK+\angle IMK=\alpha+\gamma=\angle O_{A}IM.
Значит, треугольник O_{0}MI
— равнобедренный, O_{A}I=A_{0}M
.
Пусть D
— середина KM
. Тогда окружность S_{A}
касается KM
в точке D
.
Прямоугольные треугольники O_{A}PI
и O_{A}DM
равны по катету (O_{A}P=O_{A}D
как радиусы окружности S_{A}
) и гипотенузе (O_{A}I=O_{A}M
по доказанному). Поэтому
\angle O_{A}IP=\angle O_{A}MD=\angle O_{A}MK,
но \angle O_{A}IP=\angle O_{A}MK=\alpha=\angle O_{A}LM
, Следовательно, IP\parallel LM
.
Аналогично, IQ\parallel LM
. Следовательно, точки Q
, I
, P
лежат на одной прямой, параллельной LM
.
Аналогично докажем, что точка I
лежит на остальных двух общих касательных, о которых говорится в условии задачи (рис. 3).
Автор: Сонкин М. Г.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1998-99, XXV, заключительный этап, 10 класс
Источник: Журнал «Квант». — 1999, № 5, с. 51
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 579, с. 76