6507. В треугольнике ABC
окружность, проходящая через вершины A
и B
, касается прямой BC
, а окружность, проходящая через вершины B
и C
, касается прямой AB
и пересекает первую окружность в точке K
, отличной от B
. Пусть O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
. Докажите, что угол BKO
— прямой.
Решение. Первый способ. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle ABK=\angle BCK,~\angle CBK=\angle BAK,
значит, треугольники AKB
и BKC
подобны по двум углам (рис. 1).
Пусть M
и L
— середины сторон AB
и BC
соответственно. Тогда KM
и KL
— медианы подобных треугольников AKB
и BKC
, проведённые к соответствующим сторонам AB
и BC
. Поэтому
\angle KLB=\angle KMA,~\angle BMK=180^{\circ}-\angle KMA=180^{\circ}-\angle KLB.
Значит, точки B
, L
, K
и M
лежат на одной окружности.
С другой стороны, поскольку серединные перпендикуляры к сторонам AB
и BC
треугольника ABC
проходят через центр O
описанной окружности, то из точек M
и L
отрезок BO
виден под прямым углом. Значит, точки M
и L
лежат на окружности с диаметром BO
, а так как через точки B
, M
и L
проходит единственная окружность (на которой по ранее доказанному лежит точка K
), то точка K
лежит на окружности с диаметром BO
. Следовательно, \angle BKO=90^{\circ}
.
Второй способ. Пусть O_{1}
— центр окружности, проходящей через вершины A
и B
и касающейся прямой BC
, а O_{2}
— центр окружности, проходящей через вершины B
и C
и касающейся прямой AB
(рис. 2).
Поскольку OO_{1}\perp AB
и O_{2}B\perp AB
, то OO_{1}\parallel O_{2}B
. Аналогично, OO_{2}\parallel O_{1}B
. Значит, четырёхугольник OO_{2}BO_{1}
— параллелограмм. Его диагонали делятся точкой пересечения P
пополам.
Пусть прямая O_{1}O_{2}
пересекает отрезок BK
в точке Q
. Поскольку линия центров двух пересекающихся окружностей делит пополам общую хорду этих окружностей и перпендикулярна ей, то Q
— середина BK
и PQ\perp BK
, а так как P
— середина BO
, то PQ
— средняя линия треугольника BKO
. Поэтому KO\parallel PQ
. Следовательно, KO\perp BK
.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1998-99, XXV, заключительный этап, 10 класс
Источник: Журнал «Квант». — 1999, № 5, с. 51
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 582, с. 76