6509. На сторонах BC
, CA
и AB
треугольника ABC
выбраны соответственно точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
, причём медианы A_{1}A_{2}
, B_{1}B_{2}
и C_{1}C_{2}
треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
соответственно параллельны прямым AB
, BC
и CA
. В каком отношении точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
делят стороны треугольника ABC
?
Ответ. 1:2
.
Решение. Пусть O
— точка пересечения медиан треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Продолжим медианы A_{1}A_{2}
, B_{1}B_{2}
и C_{1}C_{2}
до пересечения с отрезками AC
, AB
и BC
в точках P
, Q
и R
соответственно.
Поскольку отрезок OA_{2}
проходит через середину A_{2}
отрезка B_{1}C_{1}
и OA_{2}\parallel C_{1}Q
, то OA_{2}
— средняя линия треугольника B_{1}C_{1}Q
. Поэтому O
— середина B_{1}Q
. Аналогично докажем, что O
— середина отрезков A_{1}P
и C_{1}R
. Значит, A_{1}C_{1}PR
— параллелограмм. Поэтому C_{1}P=A_{1}R
и C_{1}P\parallel BC
. Но тогда CRC_{1}P
и BA_{1}PC_{1}
— также параллелограммы (противоположные стороны этих четырёхугольников попарно параллельны). Значит,
BA_{1}=C_{1}P,~CR=C_{1}P.
Следовательно, BA_{1}=A_{1}R=CR
и \frac{BA_{1}}{A_{1}C}=1:2
. Аналогично докажем, что
\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=1:2.