6511. В остроугольном треугольнике ABC
провели высоты AD
и CE
. Построили квадрат ACPQ
и прямоугольники CDMN
и AEKL
, у которых AL=AB
и CN=CB
. Докажите, что площадь квадрата ACPQ
равна сумме площадей прямоугольников AEKL
и CDMN
.
Указание. Продолжите высоту BF
до пересечения с PQ
.
Решение. Проведём третью высоту BF
и продолжим её до пересечения с отрезком PQ
в точке T
. Докажем, что площади прямоугольников AFTQ
и AEKL
равны.
Прямоугольные треугольники ABF
и ACE
подобны по двум углам, поэтому
\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}~\Rightarrow~AE\cdot AB=AF\cdot AC~\Rightarrow
\Rightarrow~S_{AEKL}=AE\cdot AL=AE\cdot AB=AF\cdot AC=AF\cdot AQ=S_{AFTQ}.
Аналогично докажем, что S_{CDMN}=S_{CFTP}
. Следовательно,
S_{ACPQ}=S_{AFTQ}+S_{CFTP}=S_{AEKL}+S_{CDMN}.