6512. Точка O
лежит внутри ромба ABCD
. Угол DAB
равен 110^{\circ}
. Углы AOD
и BOC
равны 80^{\circ}
и 100^{\circ}
соответственно. Чему может быть равен угол AOB
?
Ответ. 80^{\circ}
или 100^{\circ}
.
Решение. Заметим, что геометрическое место точек O
, из которых отрезок AD
виден под углом 80^{\circ}
, и лежащих по ту же сторону от AD
, что и точка B
, — это дуга окружности, проходящей через точки A
и D
, а геометрическое место точек O
, из которых отрезок BC
виден под углом 100^{\circ}
, и лежащих по ту же сторону от BC
, что и точка A
, — это дуга окружности, проходящей через точки B
и C
. Искомая точка O
должна лежать на пересечении этих двух дуг. Следовательно, таких точек может быть не более двух.
Укажем две точки, удовлетворяющие условию задачи. Первая точка O_{1}
лежит на диагонали AC
, причём \angle BO_{1}C=100^{\circ}
. Тогда
\angle AO_{1}B=180^{\circ}-\angle BO_{1}C=80^{\circ},
а так как точка D
симметрична точке B
относительно прямой AC
, то
\angle AO_{1}D=\angle AO_{1}B=80^{\circ},
что и требуется в условии.
Аналогично, вторая точка O_{2}
лежит на диагонали BD
, причём \angle BO_{2}C=100^{\circ}
. В этом случае \angle AO_{2}D=80^{\circ}
и \angle AO_{2}B=100^{\circ}
.
Осталось заметить, что точки O_{1}
и O_{2}
различны (они лежат на разных диагоналях ромба и отличны от точки пересечения диагоналей) и обе лежат внутри ромба.
Автор: Волчкевич М. А.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 1998, LXI, 9 класс
Источник: Журнал «Квант». — 1998, № 4, с. 50
Источник: Фёдоров Р. М. и др. Московские математические олимпиады. 1993—2005 / Под ред. В. М. Тихомирова. — М.: МЦНМО, 2006. — № 5, с. 38