6515. Внутри острого угла XOY
взяты точки M
и N
, причём \angle XON=\angle YOM
. На луче OX
отмечена точка Q
так, что \angle NQO=\angle MQX
, а на луче OY
— точка P
так, что \angle NPO=\angle MPY
. Докажите, что длины ломаных MPN
и MQN
равны.
Решение. Пусть точки L
и K
симметричны точке M
относительно прямых OX
и OY
соответственно. Тогда точки K
, P
и N
лежат на одной прямой, причём
NK=NP+PK=NP+PM.
Аналогично, на одной прямой лежат точки N
, Q
и L
, причём
NL=NQ+QL=NQ+QM.
Треугольники KON
и LON
равны по двум сторонам (сторона ON
— общая, OK=OM=OL
) и углу между ними. Следовательно,
NP+PM=NK=NL=NQ+QM.
Автор: Произволов В. В.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 1997, LX, 8 класс
Источник: Журнал «Квант». — 1997, № 4, с. 54
Источник: Фёдоров Р. М. и др. Московские математические олимпиады. 1993—2005 / Под ред. В. М. Тихомирова. — М.: МЦНМО, 2006. — № 3, с. 33