6516. а) Каждую сторону четырёхугольника в процессе обхода по часовой стрелке продолжили на её длину. Оказалось, что новые концы построенных отрезков служат вершинами квадрата. Докажите, что исходный четырёхугольник — квадрат.
б) Докажите, что если в результате такой же процедуры из некоторого n
-угольника получается правильный n
-угольник, то исходный многоугольник — правильный.
Решение. Очевидно, что из правильного многоугольника A_{1}A_{2}\dots A_{n}
после продолжения сторон получится правильный многоугольник B_{1}B_{2}\dots B_{n}
. Поскольку все правильные n
-угольники подобны, то любой из них можно получить такой процедурой из некоторого правильного n
-угольника. Осталось доказать, что по многоугольнику B_{1}B_{2}\dots B_{n}
многоугольник A_{1}A_{2}\dots A_{n}
определяется однозначно.
При гомотетии с центром B_{1}
и коэффициентом \frac{1}{2}
точка A_{1}
перейдёт в A_{2}
. При гомотетии с центром B_{2}
и коэффициентом \frac{1}{2}
точка A_{2}
перейдёт в A_{3}
, и т. д. При гомотетии с центром B_{n}
и коэффициентом \frac{1}{2}
точка A_{n}
перейдёт в A_{1}
. Итак, точка A_{1}
перешла в себя при композиции гомотетий.
Композиция n
гомотетий с коэффициентом \frac{1}{2}
есть гомотетия с коэффициентом \frac{1}{2^{n}}
и центром, однозначно определяемым центрами этих гомотетий. Значит, точка A_{1}
определена однозначно.
Примечание. Другие решения этой задачи (с помощью теоремы Менелая или понятия центра масс) можно найти в книге «Московские математические олимпиады», МЦНМО, 2006.