6519. Ломаная разбивает круг на две равновеликие части. Докажите, что кратчайшая такая ломаная — это диаметр.
Решение. Допустим, что ломаная, отличная от диаметра, делит площадь круга пополам. Можно считать, что ломаная имеет общую точку с окружностью (иначе сделаем параллельный перенос ломаной).
Пусть A
и B
— концы этой ломаной (которые могут и совпадать). Рассмотрим ломаную с концами A'
и B'
, центрально-симметричную исходной ломаной относительно центра круга. Эти две ломаные обязаны пересечься, поскольку каждая из них отсекает половину площади круга.
Возьмём ближайшую к точке A
точку C
пересечения ломаных (расстояния отсчитываются вдоль ломаной от A
к B
). Центрально-симметричная её точка C'
также является точкой пересечения этих ломаных. Среди частей ломаной AC
и B'C
выберем кратчайший (пусть это AC
). Тогда ломаная ACC'A'
центрально-симметрична. Следовательно, она делит площадь круга пополам.
С другой стороны, она короче (или равна) исходной ломаной. Но диаметр AA'
ещё короче (или равен) ломаной ACC'A'
, причём равенство достигается только тогда, когда исходная ломаная — диаметр.