6520. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается его сторон AB
, BC
и CA
в точках M
, N
и K
соответственно. Прямая, проходящая через вершину A
и параллельная NK
, пересекает прямую MN
в точке D
. Прямая, проходящая через вершину A
и параллельная MN
, пересекает прямую NK
в точке E
. Докажите, что прямая DE
содержит среднюю линию треугольника ABC
.
Решение. Пусть прямые AD
и AE
пересекают прямую BC
в точках F
и H
соответственно. Рассмотрим треугольник ABH
. В нём MN\parallel AH
, а так как BM=BN
(отрезки касательных проведённых к окружности из одной точки), то AB=BH
и AM=NH
. Следовательно, NH=AM=AK
. Аналогично докажем, что NF=AK
, значит, NF=NH
, т. е. N
— середина стороны FH
треугольника AFH
.
По условию задачи ND\parallel AH
, поэтому D
— середина стороны AF
. Аналогично, E
— середина AH
. Значит, DE
— средняя линия треугольника AFH
. Таким образом, прямая DE
проходит через середину отрезка AF
параллельно прямой BC
, а так как точка F
лежит на прямой BC
, то прямая DE
проходит через середины сторон AB
и AC
треугольника ABC
. Что и требовалось доказать.