6521. Окружность с центром O
, вписанная в треугольник ABC
, касается сторон AC
, AB
и BC
в точках K
, M
и N
соответственно. Медиана BB_{1}
треугольника пересекает MN
в точке D
. Докажите, что точка O
лежит на прямой DK
.
Решение. Продолжим радиус OK
вписанной окружности треугольника ABC
до пересечения с MN
в точке L
. Через точку L
проведём прямую, параллельную стороне AC
и обозначим через A_{1}
и C_{1}
точки пересечения этой прямой со сторонами AB
и BC
соответственно.
Поскольку OK\perp AC
и A_{1}C_{1}\parallel AC
, то KL\perp A_{1}C_{1}
.
Из точек L
и M
отрезок OA_{1}
виден под прямым углом, значит эти точки лежат на окружности с диаметром OA_{1}
. Вписанные углы MLA_{1}
и MOA_{1}
этой окружности опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle MOA_{1}=\angle MLA_{1}
. Аналогично \angle NOC_{1}=\angle NLC_{1}
, а так как \angle MLA_{1}=\angle NLC_{1}
(как вертикальные углы), то \angle MOA_{1}=\angle NOC_{1}
. Значит, прямоугольные треугольники MOA_{1}
и NOC_{1}
равны по катету (OM=ON
) и прилежащему острому углу. Следовательно, OA_{1}=OC_{1}
, т. е. треугольник A_{1}OC_{1}
— равнобедренный. Его высота OL
является медианой, поэтому L
— середина A_{1}C_{1}
.
С другой стороны, поскольку BB_{1}
— медиана треугольника ABC
, а A_{1}C_{1}\parallel AC
, то точка D
пересечения BB_{1}
и A_{1}C_{1}
— также середина A_{1}C_{1}
. Значит, точка L
совпадает с точкой D
. Отсюда следует утверждение задачи.