6522. На сторонах AB
и BC
равностороннего треугольника ABC
взяты точки D
и K
, а на стороне AC
— точки E
и M
, причём DA+AE=KC+CM=AB
. Докажите, что угол между прямыми DM
и KE
равен 60^{\circ}
.
Указание. Докажите равенство треугольников MAD
и ECK
.
Решение. Пусть прямые DM
и KE
пересекаются в точке P
. Из условия следует, что
CE=AC-AE=AD.
Аналогично, CK=AM
. Поэтому треугольники MAD
и ECK
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,
\angle MPE=180^{\circ}-\angle PME-\angle PEM=180^{\circ}-\angle PKC-\angle PEC=\angle ACB=60^{\circ}.
Если отрезки DM
и EK
не пересекаются, то аналогичные рассуждения проводятся для вертикальных углов.
Автор: Произволов В. В.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1996-97, XXIII, окружной этап, 8 класс
Источник: Журнал «Квант». — 1997, № 5, с. 46
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 107, с. 19