6523. Докажите, что остроугольный треугольник полностью покрывается тремя квадратами, построенными на его сторонах как на диагоналях.
Решение. Пусть K_{C}
— квадрат, построенный на стороне AB
треугольника ABC
как на диагонали. Аналогично определяются квадраты K_{A}
и K_{B}
.
Пусть O
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
. Поскольку \angle BAC\lt90^{\circ}
и \angle ABC\lt90^{\circ}
, то \angle BAO\lt45^{\circ}
и \angle ABO\lt45^{\circ}
. Значит, все точки треугольника AOB
лежат внутри квадрата K_{C}
, т. е. треугольник AOB
покрывается квадратом K_{C}
.
Аналогично, треугольники BOC
и AOC
покрываются квадратами K_{A}
и K_{B}
соответственно.