6524. Правильный 1997-угольник разбит непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что среди них ровно один — остроугольный.
Решение. Для каждого треугольника данного разбиения окружность, описанная около правильного 1997-угольника, является описанной. Центр описанной окружности правильного многоугольника с нечётным числом сторон, не лежит ни на одной диагонали, значит, он попадает внутрь какого-то одного треугольника.
Треугольник остроугольный, если центр его описанной окружности лежит внутри треугольника, и тупоугольный, если центр описанной окружности лежит вне его. Следовательно, треугольник, в который попал центр описанной окружности, остроугольный, а все остальные — тупоугольные.
Автор: Шаповалов А. В.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1996-97, XXIII, окружной этап, 9 класс
Источник: Журнал «Квант». — 1997, № 5, с. 46
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 113, с. 20