6525. Дан треугольник ABC
. Точка B_{1}
делит пополам длину ломаной ABC
(составленную из отрезков AB
и BC
), точка C_{1}
делит пополам длину ломаной ACB
, точка A_{1}
делит пополам длину ломаной CAB
. Через точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
проводятся прямые l_{A}
, l_{B}
и l_{C}
, параллельные биссектрисам углов BAC
, ABC
и ACB
соответственно. Докажите, что прямые l_{A}
, l_{B}
и l_{C}
пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть для определённости AB\geqslant AC
. На продолжении стороны AB
за точку A
отложим отрезок AC'
равный AB
. Тогда треугольник CAC'
— равнобедренный, а так как BAC
— внешний угол этого треугольника, то \angle AC'C=\frac{1}{2}\angle BAC
. Значит, прямая CC'
параллельна биссектрисе AA_{2}
треугольника ABC
.
Поскольку A_{1}
середина стороны BC'
треугольника BCC'
, а прямая l_{A}
проходит через точку A_{1}
и параллельна AA_{2}
(а значит, и CC'
), то прямая l_{A}
проходит через середину A_{3}
стороны BC
. Аналогично докажем, что прямые l_{B}
и l_{C}
проходят через середины B_{3}
и C_{3}
сторон AC
и AB
.
При гомотетии с центром в точке пересечения медиан треугольника ABC
и коэффициентом -\frac{1}{2}
, треугольник ABC
переходит в треугольник A_{3}B_{3}C_{3}
, а прямые, содержащие биссектрисы углов A
, B
и C
, — в прямые l_{A}
, l_{B}
и l_{C}
соответственно. Следовательно, прямые l_{A}
, l_{B}
и l_{C}
пересекаются в одной точке.