6526. Окружности S_{1}
и S_{2}
пересекаются в точках M
и N
. Докажите, что если вершины A
и C
некоторого прямоугольника ABCD
лежат на окружности S_{1}
, а вершины B
и D
— на окружности S_{2}
, то точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на прямой MN
.
Решение. Пусть O
— точка пересечения диагоналей прямоугольника ABCD
, вершины A
и C
которого лежат на окружности S_{1}
, а вершины B
и D
— на окружности S_{2}
. Пусть прямая MO
вторично пересекает окружность S_{1}
в точке N_{1}
, а окружность S_{2}
— в точке N_{2}
. Поскольку точка O
лежит внутри каждой окружности, то точки N_{1}
и N_{2}
лежат по одну сторону от O
.
Поскольку ABCD
— прямоугольник, то AO=OC
и BO=OD
. По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд
MO\cdot ON_{1}=AO\cdot OC=BO\cdot OD=MO\cdot ON_{2},
поэтому ON_{1}=ON_{2}
. Значит, точки N_{1}
, N_{2}
и N
совпадают. Следовательно, точка O
лежит на отрезке MN
.
Примечание. Заметим, что для любой точки O
, лежащей на отрезке MN
и отличной от M
и N
, можно построить прямоугольник, о котором говорится в условии задачи. Для этого проведём через точку O
хорды AC
и BD
окружностей соответственно S_{1}
и S_{2}
, делящиеся точкой O
пополам.Тогда
AO^{2}=AO\cdot OC=MO\cdot ON=BO\cdot OD=BO^{2},
поэтому AO=BO
. Значит, CO=AO=BO=OD
. Следовательно, ABCD
— прямоугольник.