6528. Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике имеется не более 35 углов, меньших 170^{\circ}
.
Решение. Допустим, что это не так. Тогда в некотором выпуклом n
-угольнике есть не менее 36 углов, меньших 170^{\circ}
(остальные n-36
углов не превосходят 180^{\circ}
). Сумма всех углов выпуклого n
-угольника равна 180^{\circ}(n-2)
. Следовательно,
180^{\circ}(n-2)\lt170^{\circ}\cdot36+180^{\circ}(n-36),
т. е. 180\cdot34\lt170\cdot36
, или 6120\lt6120
, что невозможно.