6528. Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике имеется не более 35 углов, меньших 170^{\circ}
.
Решение. Допустим, что это не так. Тогда в некотором выпуклом n
-угольнике есть не менее 36 углов, меньших 170^{\circ}
(остальные n-36
углов не превосходят 180^{\circ}
). Сумма всех углов выпуклого n
-угольника равна 180^{\circ}(n-2)
. Следовательно,
180^{\circ}(n-2)\lt170^{\circ}\cdot36+180^{\circ}(n-36),
т. е. 180\cdot34\lt170\cdot36
, или 6120\lt6120
, что невозможно.
Автор: Галочкин А. И.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 1996, LIX, 9 класс
Источник: Журнал «Квант». — 1996, № 4, с. 48
Источник: Фёдоров Р. М. и др. Московские математические олимпиады. 1993—2005 / Под ред. В. М. Тихомирова. — М.: МЦНМО, 2006. — № 1, с. 30