6531. В равнобедренном треугольнике ABC
(AC=BC
) точка O
— центр описанной окружности, точка I
— центр вписанной окружности, а точка D
на стороне BC
такова, что прямые OD
и BI
перпендикулярны. Докажите, что прямые ID
и AC
параллельны.
Решение. Если данный треугольник равносторонний (точки O
и I
совпадают), то утверждение очевидно.
Проведём высоту CE
. Пусть точка O
лежит между точками I
и C
(\angle B\gt60^{\circ}
), а прямые OD
и BI
пересекаются в точке K
. Положим \angle ABC=\angle BAC=2\alpha
. Тогда
\angle EBI=\angle DBI=\alpha,~\angle BIE=90^{\circ}-\alpha=\angle BDK,
\angle BIO=180^{\circ}-\angle BIE=90^{\circ}+\alpha.
Сумма противоположных углов BIO
и BDO
четырёхугольника BDOI
равна 180^{\circ}
, значит, он вписанный. Вписанные углы BDI
и BOI
его описанной окружности опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Кроме того, BOI
— внешний угол равнобедренного треугольника BOC
. Значит,
\angle BDI=\angle BOI=2\angle BCE=2(90^{\circ}-2\alpha)=180^{\circ}-4\alpha=\angle DCA.
Следовательно DI\parallel AC
.
Случай, когда точка I
лежит между точками O
и C
(\angle B\lt60^{\circ})
разбирается аналогично.
Автор: Сонкин М. Г.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1995-96, XXII, заключительный этап, 9 кл.
Источник: Журнал «Квант». — 1996, № 5, с. 52
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 502, с. 65