6536. Две окружности радиусов R
и r
касаются прямой l
в точках A
и B
и пересекаются в точках C
и D
. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника ABC
не зависит от длины отрезка AB
.
Решение. Обозначим \angle CAB=\alpha
, \angle CBA=\beta
. Если \rho
— радиус описанной окружности треугольника ABC
, то по теореме синусов
AC=2R\sin\alpha=2\rho\sin\beta,~BC=2r\sin\beta=2\rho\sin\alpha.
Перемножив почленно эти равенства, получим, что
\rho^{2}\sin\alpha\sin\beta=Rr\sin\alpha\sin\beta.
Следовательно, \rho=\sqrt{Rr}
, т. е. радиус описанной окружности треугольника ABC
зависит только от R
и r
.
Автор: Сонкин М. Г.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1994-95, XXI, окружной этап, 9 класс
Источник: Журнал «Квант». — 1995, № 5, с. 46
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 51, с. 13
Источник: Кушнир И. А. Геометрия. Поиск и вдохновение. — М.: МЦНМО, 2013. — с. 543