6537. Окружности S_{1}
и S_{2}
с центрами O_{1}
и O_{2}
пересекаются в точках A
и B
. Окружность, проходящая через точки O_{1}
, O_{2}
и A
, вторично пересекает окружность S_{1}
в точке D
, окружность S_{2}
— в точке E
, а прямую AB
— в точке C
. Докажите, что CD=CB=CE
.
Решение. Лемма. Если из точки P
, лежащей вне окружности с центром O
, проведены к окружности две секущие PXY
и PZT
под равными углами к PO
, причём точка X
лежит между P
и Y
, а точка Z
— между P
и T
, то PX=PZ
(рис. 1).
Доказательство. При симметрии относительно прямой PO
окружность переходит в себя, луч PT
переходит в луч PY
, а точка Z
, лежащая и на окружности, и на луче PT
между точками P
и T
, — в точку X
. Следовательно, PX=PZ
.
Рассмотрим нашу задачу (рис. 2). Поскольку вписанные углы DCO_{1}
и ACO_{1}
окружности, проходящей через точки O_{1}
, O_{2}
и A
, опираются на равные хорды O_{1}D
и O_{1}A
(радиусы окружности S_{1}
), то
\angle BCO_{1}=\angle ACO_{1}=\angle DCO_{1}.
тогда по доказанной лемме CD=CB
. Аналогично, CB=CE
.