6541. Хорда CD
окружности с центром O
перпендикулярна её диаметру AB
, а хорда AE
делит пополам радиус OC
. Докажите, что хорда DE
делит пополам хорду BC
.
Указание. Если хорда AE
пересекает радиус OC
в точке M
, а хорда DE
— хорду BC
в точке N
, то точки M
, N
, E
и C
лежат на одной окружности.
Решение. Докажем более общее утверждение: если хорда AE
пересекает радиус OC
в точке M
, а хорда DE
— хорду BC
в точке N
, то MN\parallel OB
.
Заметим, что дуги AC
и AD
, не содержащие точку B
, симметричны относительно прямой AB
и, следовательно, равны. Поэтому равны и углы AEC
и AED
, вписанные в окружность и опирающиеся на эти дуги.
Углы AEC
и ABC
равны как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу, а углы ABC
и OCB
равны, так как треугольник OCB
— равнобедренный. Следовательно, \angle AED=\angle OCB
, т. е. \angle MEN=\angle MCN
, а это означает, что точки M
, N
, E
и C
лежат на одной окружности. Поэтому
\angle MNC=\angle MEC=\angle OBC.
Значит, MN\parallel OB
.
В нашей задаче M
— середина OC
. Следовательно, N
— середина BC
.