6545. Города
A
,
B
,
C
и
D
расположены так, что расстояние от
C
до
A
меньше, чем расстояние от
D
до
A
, а расстояние от
C
до
B
меньше, чем расстояние от
D
до
B
. Докажите, что расстояние от города
C
до любой точки прямолинейной дороги, соединяющей города
A
и
B
, меньше, чем расстояние от
D
до этой точки.
Указание. Проведите серединный перпендикуляр
l
к отрезку
CD
; точки
A
и
B
лежат в той полуплоскости с границей
l
, которая содержит точку
C
. Или примените теорему Стюарта (см. задачу 2663).
Решение. Первый способ. Лемма. Дан отрезок
XY
. Геометрическое место точек
Z
, таких, что
ZX\gt ZY
, есть полуплоскость с границей
l
, содержащая точку
Y
, где
l
— серединный перпендикуляр к отрезку
XY
.
Доказательство. Серединный перпендикуляр
l
к отрезку
XY
делит плоскость на две полуплоскости. Рассмотрим полуплоскость, содержащую точку
Y
(рис. 1). Докажем, что для любой точки
Z
этой полуплоскости
ZX\gt ZY
. Действительно, поскольку точки
X
и
Z
лежат в разных полуплоскостях с границей
l
, то отрезок
ZX
пересекает прямую
l
в некоторой точке
T
. По свойству серединного перпендикуляра
TX=TY
, поэтому
ZY\lt TY+TZ=TX+TZ=XZ.

Докажем теперь, что если
ZY\lt ZX
, то точки
Y
и
Z
лежат в одной полуплоскости с границей
l
.
Точка
Z
не может лежать на прямой
l
, так как в этом случае
ZY=ZX
. Если же точки
Y
и
Z
лежат по разные стороны от прямой
l
, то точки
Z
и
X
лежат по одну сторону от этой прямой. В этом случае (см. первую часть доказательства)
ZY\gt ZX
, что противоречит условию.
Лемма доказана.
Рассмотрим теперь нашу задачу. Проведём серединный перпендикуляр
l
к отрезку
CD
(рис. 2). Поскольку
AC\lt AD
и
BC\lt BD
, то по доказанной лемме точки
A
и
B
лежат в той полуплоскости с границей
l
, которая содержит точку
C
. Значит, любая точка
M
отрезка
AB
также лежит в этой полуплоскости. Следовательно,
MC\lt MD
.
Второй способ. Обозначим
AC=a
,
AD=b
,
BC=c
,
BD=b
. По условию
a\lt b
и
c\lt d
.
Пусть
M
— точка на отрезке
AB
. Применив теорему Стюарта (см. задачу 2663) к треугольникам
ABC
и
ABD
и точке
M
на их общей стороне
AB
, получим, что
a^{2}BM+c^{2}AM-x^{2}AB=AB\cdot AM\cdot BM,

b^{2}BM+d^{2}AM-y^{2}AB=AB\cdot AM\cdot BM~\Rightarrow

\Rightarrow~(a^{2}-b^{2})BM+(c^{2}-d^{2})AM-(x^{2}-y^{2})AB=0~\Rightarrow

\Rightarrow~(x^{2}-y^{2})AB=(a^{2}-b^{2})BM+(c^{2}-d^{2})AM\lt0~\Rightarrow~x\lt y.

Что и требовалось доказать.
Автор: Левин А.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1993-94, XX, окружной этап, 9 класс
Источник: Журнал «Квант». — 1994, № 5, с. 52
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 26, с. 10