6547. Окружность с центром O
вписана в четырёхугольник ABCD
и касается его непараллельных сторон BC
и AD
в точках E
и F
соответственно. Пусть прямая AO
и отрезок EF
пересекаются в точке K
, прямая DO
и отрезок EF
— в точке N
, а прямые BK
и CN
— в точке M
. Докажите, что точки O
, K
, M
и N
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть вписанная окружность четырёхугольника ABCD
касается его стороны AB
в точке P
. Из точек P
и E
отрезок OB
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OB
. Докажем, что на этой окружности лежит и точка K
.
Действительно, поскольку POA
— половина центрального угла POF
вписанной окружности данного четырёхугольника, а PEF
— угол, вписанный в эту окружность, то \angle POA=\angle PEF
. Поэтому \angle POK=\angle PEK
. Значит, точка K
лежит на окружности, проходящей через точки P
, O
и E
, т. е. на окружности с диаметром OB
.
Из доказанного следует, что \angle BKO=90^{\circ}
. Аналогично докажем, что \angle CND=90^{\circ}
. Значит, из точек K
и N
отрезок OM
виден под прямым углом. Следовательно, точки O
, K
, M
и N
лежат на окружности с диаметром OM
.
Автор: Сонкин М. Г.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1993-94, XX, окружной этап, 10 класс
Источник: Журнал «Квант». — 1994, № 5, с. 52
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 35, с. 11