6548. В выпуклом пятиугольнике ABCDE
сторона AB
перпендикулярна стороне CD
, а сторона BC
— стороне DE
. Докажите, что если AB=AE=ED=1
, то BC+CD\lt1
.
Решение. Пусть прямые AB
и CD
пересекаются в точке K
, а прямые BC
и ED
— в точке M
. Обозначим \angle BAE=\alpha
, \angle DEA=\beta
. На луче BC
отложим отрезок BN=AB=1
.
Докажем, что \alpha+\beta\lt180^{\circ}
. Предположим, что это не так. Если \alpha+\beta=180^{\circ}
, то ABDE
— параллелограмм. Тогда DK
и BM
— его высоты, проведённые к противоположным сторонам. Значит, DK
и BM
не могут пересекаться в точке C
. Если же \alpha+\beta\gt180^{\circ}
, то C
и точка P
пересечения прямых AB
и DE
лежат по разные стороны от прямой BD
. Точка K
лежит на продолжении стороны DC
за вершину C
, поэтому K
и P
лежат по разные стороны от прямой BD
. Значит, PBM
— внешний угол прямоугольного треугольника BKC
. Следовательно, \angle PBM\gt90^{\circ}
.
С другой стороны, поскольку PBM
— острый угол прямоугольного треугольника PBM
, то \angle PBM\lt90^{\circ}
, что невозможно. Таким образом, \alpha+\beta\lt180^{\circ}
.
Тогда один из углов \alpha
и \beta
меньше 90^{\circ}
. Пусть \alpha\lt90^{\circ}
. Сумма углов четырёхугольника ABME
равна 360^{\circ}
, поэтому
\angle ABM=360^{\circ}-90^{\circ}-\alpha-\beta=270^{\circ}-\alpha-\beta.
Из равнобедренных треугольников ABN
и ADE
находим, что
\angle BAN=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ABN)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ABM)=
=\frac{1}{2}(180^{\circ}-270^{\circ}+\alpha+\beta)=\frac{1}{2}(\alpha+\beta-90^{\circ}),
\angle DAE=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle DEA)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\beta).
Следовательно,
\angle BAN+\angle DAE=\frac{1}{2}(\alpha+\beta-90^{\circ})+\frac{1}{2}(180^{\circ}-\beta)=\frac{1}{2}(90^{\circ}+\alpha)\gt\alpha=\angle BAE.
Это значит, что точка D
лежит внутри треугольника ABN
.
Пусть прямые CD
и AN
пересекаются в точке S
. В треугольнике CNS
угол CNS
— острый (как угол при основании равнобедренного треугольника ABN
), а угол NSC
— тупой (как внешний угол прямоугольного треугольника AKS
). Значит, CS\lt CN
. Поэтому
BC+CD\lt BC+CS\lt BC+CN=BN=1.