6554. Пусть A_{0}
— середина стороны BC
треугольника ABC
, а A'
— точка касания с этой стороной вписанной окружности. Построим окружность \omega
с центром в точке A_{0}
и проходящую через A'
. На других сторонах построим аналогичные окружности. Докажите, что если окружность \omega
касается описанной окружности в точке дуги BC
, не содержащей A
, то ещё одна из построенных окружностей касается описанной.
Решение. Лемма. Пусть I
— центр окружности, вписанной в треугольник XYZ
. Если прямая XI
пересекает описанную окружность треугольника в точке T
, то треугольники ITY
и ITZ
— равнобедренные.
Доказательство. Обозначим \angle YXZ=x
, \angle XYZ=y
(рис. 1).
Центр окружности, вписанной в треугольник, есть точка пересечения его биссектрис. Значит, YI
и XI
— биссектрисы углов XYZ
и YXZ
, а так как YIT
— внешний угол треугольника XIY
, то
\angle YIT=\angle YXI+\angle XYI=\frac{x}{2}+\frac{y}{2}.
Вписанные углы TYZ
и TXZ
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle IYT=\angle IYZ+\angle TYZ=\angle IYZ+\angle TXZ=\frac{y}{2}+\frac{x}{2}.
Значит, \angle YIT=\angle IYT
. Аналогично \angle TZI=\angle TIZ
. Следовательно, YT=IT=TZ
. Лемма доказана.
Перейдём к нашей задаче. Пусть окружность \omega
касается описанной окружности треугольника ABC
в точке F
(рис. 2). Тогда F
— середина дуги BC
, не содержащей точку A
. Значит, AF
— биссектриса угла BAC
, поэтому AF
проходит через центр I
окружности, вписанной в треугольник ABC
. Тогда по доказанной лемме FB=FI
.
Поскольку A_{0}F\perp BC
и A_{0}F=A_{0}A'
(как радиусы окружности \omega
), то A_{0}FA'
— равнобедренный прямоугольный треугольник, поэтому \angle A_{0}A'F=45^{\circ}
. Тогда
\angle IA'F=\angle IA'A_{0}+\angle A_{0}A'F=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ},
\angle BA'F=360^{\circ}-90^{\circ}-135^{\circ}=135^{\circ}.
Следовательно, треугольники BA'F
и IA'F
равны по двум сторонам и тупому углу.
Если r
— радиус окружности вписанной в треугольник ABC
, то из доказанного равенства треугольников следует, что BA'=A'I=r
. Тогда \angle IBA'=45^{\circ}
, а так как BI
— биссектриса угла ABC
, то \angle ABC=90^{\circ}
, т. е. треугольник ABC
— прямоугольный.
Проводя те же рассуждения в обратном порядке, убеждаемся, что аналогичная окружность с центром в середине второго катета AB
также касается описанной.