6556. Пусть ABCD
— четырёхугольник с параллельными сторонами AD
и BC
; M
и N
— середины его сторон AB
и CD
соответственно. Прямая MN
делит пополам отрезок, соединяющий центры окружностей, описанных около треугольников ABC
и ADC
. Докажите, что ABCD
— параллелограмм.
Указание. Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде AC
и проходит через её середину.
Решение. Средняя линия трапеции (и параллелограмма) делит диагональ пополам, поэтому MN
проходит через середину O
диагонали AC
.
Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей, описанных около треугольников ABC
и ADC
соответственно. Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде AC
и проходит через её середину O
. Значит, отрезки O_{1}O_{2}
и MN
проходят через точку O
. По условию MN
проходит через середину O_{1}O_{2}
. Следовательно, точка O
и есть середина O_{1}O_{2}
.
Таким образом, отрезки AC
и O_{1}O_{2}
перпендикулярны и делят друг друга пополам. Значит, AO_{1}CO_{2}
— ромб. Поэтому O_{1}C=O_{2}C
, т. е. радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC
и ADC
, равны.
Поскольку BC\parallel AD
и CO_{1}\parallel AO_{2}
, то \angle BCO_{1}=\angle DAO_{2}
, а так как O_{1}C=O_{1}B=O_{2}A=O_{2}D
, то равнобедренные треугольники BCO_{1}
и DAO_{2}
равны. Поэтому BC=AD
. Следовательно, ABCD
— параллелограмм.