6557. В треугольнике ABC
медианы AA'
, BB'
и CC'
продлили до пересечения с описанной окружностью в точках A_{0}
, B_{0}
и C_{0}
соответственно. Известно, что точка M
пересечения медиан треугольника ABC
делит отрезок AA_{0}
пополам. Докажите, что треугольник A_{0}B_{0}C_{0}
— равнобедренный.
Указание. BMCA_{0}
— параллелограмм.
Решение. Медианы треугольника делятся их точкой пересечения в отношении 2:1
, считая от вершины треугольника, поэтому, если MA'=x
, то AM=2x
. По условию задачи MA_{0}=AM=2x
, поэтому
A'A_{0}=MA_{0}-MA'=2x-x=x.
Значит, A'
— середина отрезка MA_{0}
.
Диагонали четырёхугольника BMCA_{0}
делятся точкой пересечения A'
пополам, поэтому BMCA_{0}
— параллелограмм. Его противоположные углы MCA_{0}
и MBA_{0}
равны. Тогда равны вписанные углы A_{0}CC_{0}
и A_{0}BB_{0}
. Первый из них опирается на дугу A_{0}BC_{0}
, а второй — на дугу A_{0}CB_{0}
. Значит, эти дуги равны. Но тогда равны и стягивающие их хорды A_{0}C_{0}
и A_{0}B_{0}
. Следовательно, треугольник A_{0}B_{0}C_{0}
— равнобедренный.
Автор: Емельянов Л. А.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2003-04, XXX, окружной этап, 9 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2004, № 5, с. 44, задача 2, 9 класс
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 338, с. 46