6558. Внутри параллелограмма ABCD
выбрана точка M
, а внутри треугольника AMD
точка N
, причём \angle MNA+\angle MCB=\angle MND+\angle MBC=180^{\circ}
. Докажите, что прямые MN
и AB
параллельны.
Указание. Рассмотрите образ треугольника BMC
при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{BA}
Решение. Обозначим \angle MNA=\alpha
, \angle MND=\beta
. Тогда
\angle MCB=180^{\circ}-\alpha,~\angle MBC=180^{\circ}-\beta.
Пусть при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{BA}
точка M
перешла в точку M'
. При этом треугольник BMC
перешёл в треугольник AM'D
. Четырёхугольник ANDM'
вписанный, поскольку
\angle AM'D+\angle AND=\angle BMC+\angle AND=
=(180^{\circ}-(180^{\circ}-\alpha)-(180^{\circ}-\beta))+360^{\circ}-\alpha-\beta=180^{\circ}.
Поэтому
\angle M'ND=\angle M'AD=\angle MBC=180^{\circ}-\beta.
Значит,
\angle MND+\angle M'ND=\beta+(180^{\circ}-\beta)=180^{\circ}.
Следовательно, точки M
, N
и M'
лежат на одной прямой, а так как MM'\parallel AB
(по построению точки M'
), то MN\parallel AB
.