6560. Дан треугольник ABC
с попарно различными сторонами. На его сторонах построены внешним образом правильные треугольники ABC_{1}
, BCA_{1}
и CAB_{1}
. Докажите, что треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
не может быть правильным.
Решение. Предположим, что треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
— правильный. Если точка A
лежит на отрезке B_{1}C_{1}
, то из равенства \angle C_{1}B_{1}A_{1}=\angle AB_{1}C=60^{\circ}
следует, что C
лежит на B_{1}A_{1}
. При этом
\angle BAC=180^{\circ}-\angle BAC_{1}-\angle CAB_{1}=60^{\circ}.
Аналогично, \angle ACB=60^{\circ}
. Следовательно, треугольник ABC
— правильный, что противоречит условию. Значит, точка A
не лежит на B_{1}C_{1}
.
Рассмотрим треугольники A_{1}BC_{1}
, B_{1}CA_{1}
и C_{1}AB_{1}
. Назовём один из них внешним, если он пересекается с треугольником ABC
только по соответствующей вершине (так, на рис. 1 внешними являются треугольники A_{1}BC_{1}
и C_{1}AB_{1}
, а на рис. 2 — треугольник A_{1}BC_{1}
); иначе назовём его внутренним.
Тогда к одной из вершин A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
прилегают либо два внешних треугольника (рис. 1), либо два внутренних (рис. 2). В первом случае угол треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
при этой вершине больше 60^{\circ}
, во втором — меньше. Противоречие.