6562. В равнобедренном треугольнике ABC
(AB=BC
) точка O
— центр описанной окружности. Точка M
лежит на отрезке BO
, точка M'
симметрична M
относительно середины AB
. Точка K
— точка пересечения M'O
и AB
. Точка L
на стороне BC
такова, что \angle CLO=\angle BLM
. Докажите, что точки O
, K
, B
, L
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть P
— точка, симметричная точке O
относительно прямой BC
. Тогда
\angle PLC=\angle CLO=\angle BLM,
поэтому точка L
лежит на отрезке MP
.
Пусть M''
— точка, симметричная точке M'
относительно прямой BO
. Тогда точка M''
симметрична точке M
относительно середины Q
стороны BC
. Диагонали MM''
и OP
четырёхугольника MPM''O
делятся точкой пересечения Q
пополам. Значит, MPM''O
— параллелограмм, поэтому OM''\parallel MP
.
Если K'
— точка, симметричная точке K
относительно прямой BO
, то K'
лежит на отрезке OM''
. Тогда
\angle BKO=\angle BK'O=\angle PLK'=\angle BLM=\angle OLC.
Значит,
\angle BLO=180^{\circ}-\angle OLC=180^{\circ}-\angle BKO,
т. е. сумма противоположных углов BKO
и BLO
четырёхугольника OKBL
равна 180^{\circ}
. Следовательно, этот четырёхугольник — вписанный, т. е. точки O
, K
, B
, L
лежат на одной окружности.