6565. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
, и проведены биссектрисы l_{A}
, l_{B}
, l_{C}
, l_{D}
внешних углов этого четырёхугольника. Прямые l_{A}
и l_{B}
пересекаются в точке K
, прямые l_{B}
и l_{C}
— в точке L
, прямые l_{C}
и l_{D}
— в точке M
, прямые l_{D}
и l_{A}
— в точке N
. Докажите, что если окружности, описанные около треугольников ABK
и CDM
, касаются внешним образом, то и окружности, описанные около треугольников BCL
и DAN
, касаются внешним образом.
Решение. Пусть продолжения сторон BC
и AD
данного четырёхугольника ABCD
пересекаются в некоторой точке P
(случай BC\parallel AD
разберём отдельно). Для определённости считаем, что точка P
лежит на продолжении стороны BC
за точку B
.
Поскольку K
— точка пересечения биссектрис l_{A}
и l_{B}
треугольника APB
, то K
— центр вписанной окружности этого треугольника. Аналогично, точка M
— центр вневписанной окружности треугольника CPD
. Значит, точки P
, K
и M
лежат на одной прямой m
— прямой, содержащей биссектрису угла CPD
.
Пусть прямая m
пересекает описанную окружность треугольника ABK
в точке K'
, отличной от K
. Обозначим \angle APB=\alpha
. Тогда (см. задачу 4770)
\angle AKB=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2},~\angle AK'B=180^{\circ}-\angle AKB=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.
С другой стороны, точка K''
пересечения биссектрис внешних углов при вершинах A
и B
треугольника ABP
также лежит на прямой m
и \angle AK''B=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770). Следовательно, точка K''
совпадает с K'
.
Поскольку \angle KBK'=90^{\circ}
как угол между биссектрисами смежных углов, то KK'
— диаметр описанной окружности треугольника AKB
. Значит, центр O_{1}
этой окружности также лежит на прямой m
. Аналогично докажем, что центр O_{2}
описанной окружности треугольника CMD
лежит на прямой m
.
В случае BC\parallel AD
точки K
и M
, а также O_{1}
и O_{2}
лежат на прямой m
— средней линии трапеции или параллелограмма ABCD
.
Пусть описанные окружности треугольников ABK
и CDM
касаются внешним образом. Их точка касания I
лежит на прямой m
и поэтому совпадает с K'
и с точкой пересечения биссектрис внутренних углов при вершинах C
и D
данного четырёхугольника.
Таким образом, I
— точка пересечения биссектрис всех внутренних углов четырёхугольника ABCD
. Значит, в этот четырёхугольник можно вписать окружность, а I
— центр этой окружности.
Обратно, если ABCD
— описанный четырёхугольник, а I
— центр вписанной в него окружности, то AI\perp l_{A}
, BI\perp l_{B}
, CI\perp l_{C}
, DI\perp l_{D}
. Поэтому точка I
лежит на описанной окружности треугольника ABK
и диаметрально противоположна точке K
. В то же время, точка I
лежит на описанной окружности треугольника CDM
и диаметрально противоположна точке M
. Таким образом, I
лежит на прямой m
и является точкой внешнего касания описанных окружностей этих треугольников.
Итак, утверждение о том, что описанные окружности треугольников AKB
и CDM
касаются внешним образом, равносильно тому, что четырёхугольник ABCD
— описанный. Но то же самое справедливо и для пары окружностей, описанных около треугольников BCL
и DAN
, откуда следует утверждение задачи.