6566. Внутри выпуклого пятиугольника выбраны две точки. Докажите, что можно выбрать четырёхугольник с вершинами в вершинах пятиугольника так, что внутрь него попадут обе выбранные точки.
Решение. Первый способ. Пусть ABCDE
— данный выпуклый пятиугольник, M
и N
— точки внутри него. Рассмотрим пять треугольников: ABC
, BCD
, CDE
, DEA
и EAB
. Каждая из точек M
и N
лежит не более, чем в двух из этих треугольников. Значит, есть треугольник в котором нет точек M
и N
. Пусть это треугольник ABC
. Тогда точки M
и N
лежат внутри четырёхугольника ACDE
.
Второй способ. Пусть ABCDE
— данный выпуклый пятиугольник, M
и N
— точки внутри него. Проведём прямую MN
. В одной из образовавшихся полуплоскостей содержится не менее трёх вершин пятиугольника (из которых хотя бы две не лежат на прямой MN
). Отрезаем этот треугольник и получаем нужное разбиение.
Автор: Дольников В. Л.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2000-01, XXVII, окружной этап, 9 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2001, № 5, с. 48
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 245, с. 36