6568. В параллелограмме ABCD
на диагонали AC
отмечена точка K
. Окружность s_{1}
проходит через точку K
и касается прямых AB
и AD
, причём вторая точка пересечения s_{1}
с диагональю AC
лежит на отрезке AK
. Окружность s_{2}
проходит через точку K
и касается прямых CB
и CD
, причём вторая точка пересечения s_{2}
с диагональю AC
лежит на отрезке KC
. Докажите, что при всех положениях точки K
на диагонали AC
прямые, соединяющие центры окружностей s_{1}
и s_{2}
, будут параллельны между собой.
Решение. При гомотетии с центром K
, переводящей вершину A
в вершину C
, луч AB
переходит в противоположно направленный с ним луч CD
, луч AD
— в противоположно направленный с ним луч CB
, окружность s_{1}
, вписанная вписанная в угол BAD
, — в окружность s_{2}
, вписанную в угол DCB
. Поскольку окружности s_{1}
и s_{2}
гомотетичны относительно их общей точки K
, то они касаются в этой точке. Значит, у них есть общая касательная в точке K
. Эта касательная перпендикулярна линии центров этих окружностей.
Пусть другой точке K'
диагонали AC
соответствует другая пара окружностей s_{1}'
и s_{2}'
. Окружности s_{1}
и s_{1}'
вписаны в угол BAD
, следовательно, гомотетичны с центром в точке A
, а значит, их касательные, проведённые в точках K
и K'
соответственно, параллельны. Тогда параллельны и перпендикулярные им линии центров пар окружностей s_{1}
, s_{2}
и s_{1}'
и s_{2}'
.
Автор: Емельянова Т. Л.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2000-01, XXVII, окружной этап, 10 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2001, № 5, с. 49
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 250, с. 36