6569. Дан треугольник ABC
. На прямой AC
отмечена точка B_{1}
так, что AB=AB_{1}
, при этом B_{1}
и C
находятся по одну сторону от A
. Через точки C
, B_{1}
и основание биссектрисы угла A
треугольника ABC
проводится окружность \omega
, вторично пересекающая окружность, описанную около треугольника ABC
, в точке Q
. Докажите, что касательная, проведённая к \omega
в точке Q
, параллельна AC
.
Решение. Пусть продолжение биссектрисы AA_{1}
треугольника ABC
пересекает описанную окружность этого треугольника в точке Q_{1}
. Поскольку AB_{1}=AB
, то точки B
и B_{1}
симметричны относительно прямой AA_{1}
, поэтому
\angle AB_{1}A_{1}=\angle ABA_{1}=\angle ABC=\angle AQ_{1}C.
Значит, точки B_{1}
, C
, A_{1}
и Q_{1}
лежат на одной окружности — описанной окружности треугольника A_{1}B_{1}C
. Следовательно, точка Q_{1}
совпадает с точкой Q
.
Тогда
\angle QCB_{1}=\angle QA_{1}B_{1}=\angle BA_{1}Q=180^{\circ}-\angle QMC=\angle QB_{1}C,
поэтому треугольник CQB_{1}
— равнобедренный. Следовательно, касательная, проведённая через вершину Q
к его описанной окружности, параллельна основанию CB_{1}
. Что и требовалось доказать.