6571. Дан параллелограмм ABCD
(AB\lt BC
). Докажите, что окружности, описанные около треугольников APQ
, для всевозможных точек P
и Q
, выбранных на сторонах BC
и CD
соответственно так, что CP=CQ
, имеют общую точку, отличную от A
.
Решение. Центр окружности, описанной около каждого из треугольников APQ
, лежит на серединном перпендикуляре l
к отрезку PQ
. Поскольку все треугольники APQ
равнобедренные (CP=CQ
), то l
— биссектриса угла PCQ
, т. е. угла BCD
. Окружность симметрична относительно каждого своего диаметра, поэтому точка A'
, симметричная точке A
относительно прямой l
, лежит на описанной окружности каждого из треугольников APQ
. Значит, все указанные окружности проходят через точку A'
, что и требовалось доказать.
Автор: Емельянова Т. Л.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2004-05, XXXI, окружной этап, 9 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2005, № 5, с. 46
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 713, с. 92