6575. В четырёхугольнике ABCD
углы A
и C
равны. Биссектриса угла B
пересекает прямую AD
в точке P
. Перпендикуляр к BP
, проходящий через точку A
, пересекает прямую BC
в точке Q
. Докажите, что прямые PQ
и CD
параллельны.
Решение. Из условия задачи следует, что биссектриса треугольника ABQ
, проведённая из вершины B
, является его высотой, значит, треугольник ABQ
равнобедренный. Поэтому прямая BP
— серединный перпендикуляр к отрезку AQ
. Тогда AB=BQ
и AP=PQ
. Треугольники ABP
и BQP
равны по трём сторонам, значит,
\angle BCD=\angle BAD=\angle BAP=\angle BQP.
Следовательно, PQ\parallel CD
.
Автор: Акопян А. В.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2004-05, XXXI, окружной этап, 8 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2005, № 5, с. 45
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 366, с. 49