6576. На сторонах AB
и BC
треугольника ABC
выбраны точки M
и N
соответственно. Отрезки AN
и CM
пересекаются в точке O
, причём AO=CO
. Обязательно ли треугольник ABC
равнобедренный, если а) AM=CN
; б) BM=BN
?
Ответ. а) Нет. б) Да.
Решение. а) Рассмотрим треугольник ABC
, в котором
\angle ABC=60^{\circ},~\angle BAC=45^{\circ},~\angle ACB=75^{\circ}.
Отметим на серединном перпендикуляре к стороне AC
точку O
, для которой \angle OAC=\angle OCA=30^{\circ}
(рис. 1). Пусть луч AO
пересекает сторону BC
в точке N
, а луч CO
пересекает сторону AB
в точке M
. Тогда
\angle ANC=75^{\circ},~\angle OMA=105^{\circ}.
При симметрии относительно серединного перпендикуляра к стороне AC
точка M
переходит в точку M'
, лежащую на отрезке ON
. При этом
\angle OM'C=\angle OMA=105^{\circ},~\angle CM'N=180^{\circ}-\angle OM'C=180^{\circ}-105^{\circ}=75^{\circ}=\angle CNM'.
Значит, треугольник CNM'
— равнобедренный. Следовательно,
CN=CM'=AM.
Таким образом, неравнобедренный треугольник ABC
удовлетворяет условию пункта а).
б) Докажем, что в этом случае треугольник ABC
— равнобедренный, AB=BC
. Предположим, что AB\lt BC
. Тогда \angle ACB\lt\angle BAC
.
Пусть серединный перпендикуляр l
к стороне AC
пересекает прямую BC
в точке K
. (рис. 2) Тогда
\angle KAC=\angle ACK=\angle ACB\lt\angle BAC,
значит, точка K
лежит на отрезке BC
. Кроме того, поскольку AO=CO
, то точка O
лежит на прямой l
.
Заметим, что точка L
пересечения AK
и CM
симметрична точке N
относительно прямой l
. Ясно, что точка L
лежит на отрезке MC
.
С другой стороны, поскольку AKC
— внешний угол треугольника ABK
, то
\angle LKN=\angle AKC\gt\angle ABK=\angle MBN.
Значит, угол при вершине равнобедренного треугольника LKN
больше угла при вершине равнобедренного треугольника MBN
. Поэтому \angle KNL\lt\angle BNM
, а это означает, что точка L
лежит на продолжении отрезка MC
за точку M
. Противоречие.
Аналогично докажем, что AB
не может быть больше BC
. Следовательно, AB=BC
, т. е. треугольник ABC
— равнобедренный.