6579. На сторонах BC
и CD
параллелограмма ABCD
взяты точки M
и N
соответственно. Диагональ BD
пересекает стороны AM
и AN
треугольника AMN
соответственно в точках E
и F
, разбивая его на две части. Докажите, что эти две части имеют одинаковые площади тогда и только тогда, когда точка K
, определяемая условиями EK\parallel AD
, FK\parallel AB
, лежит на отрезке MN
.
Решение. Лемма. Если диагонали XZ
и YT
трапеции (или параллелограмма) XYZT
с основаниями YZ
и XT
пересекаются в точке Q
, то S_{\triangle XQY}=S_{\triangle ZQT}
.
Доказательство. Треугольники XYT
и XZT
равновелики, так как у них общее основание XT
, а высоты, опущенные на это основание, равны (рис. 1). Следовательно,
S_{\triangle XQY}=S_{\triangle XYT}-S_{\triangle XQT}=S_{\triangle XZT}-S_{\triangle XQT}=S_{\triangle ZQT}.
Лемма доказана.
Вернёмся к нашей задаче (рис. 2). Рассмотрим случай, когда точка K
лежит внутри треугольника CMN
. Оставшийся случай рассматривается аналогично.
Пусть отрезки KD
и FN
пересекаются в точке P
, отрезки KB
и AM
— в точке L
, отрезки KA
и BD
— в точке O
. Рассмотрим трапеции DNKF
, BMKE
, AEKD
и ABKF
. По доказанной лемме
S_{\triangle KPN}=S_{\triangle FPD},~S_{\triangle KML}=S_{\triangle BLE},
S_{\triangle AOE}=S_{\triangle DOK},~S_{\triangle AOF}=S_{\triangle BOK},
поэтому
S_{\triangle BKD}=S_{EMKNF},
S_{\triangle AEF}=S_{\triangle AOF}+S_{\triangle AOE}=S_{\triangle BOK}+S_{\triangle DOK}=S_{\triangle BKD}=S_{EMKNF}
Таким образом, S_{\triangle AEF}=S_{EMNF}
тогда и только тогда, когда точка K
лежит на отрезке MN
.