6580. Дан правильный треугольник ABC
. Через вершину B
проводится произвольная прямая l
, а через точки A
и C
проводятся прямые, перпендикулярные прямой l
, пересекающие её в точках D
и E
. Затем, если точки D
и E
различны, строятся правильные треугольники DEP
и DET
, лежащие по разные стороны от прямой l
. Найдите геометрическое место точек P
и T
.
Ответ. Окружность с центром в точке B
и радиусом, равным высоте треугольника ABC
.
Решение. Возможны несколько случаев расположения прямой (см.рис. 1-3). Рассмотрим случай, изображённый на рис. 1, остальные случаи рассматриваются аналогично.
Пусть N
— середина стороны AC
. Тогда BN
— высота треугольника ABC
. Из точек N
и D
отрезок AB
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AB
. Вписанные в эту окружность углы BDN
и BAN
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle EDN=\angle BDN=\angle BAN=60^{\circ}.
Аналогично докажем, что \angle DEN=60^{\circ}
. Следовательно, треугольник DNE
правильный, какова бы ни была прямая l
, не пересекающая отрезок AC
. Итак, вершина T
одного из рассматриваемых треугольников находится в середине N
отрезка AC
. Вершина P
другого правильного треугольника симметрична фиксированной точке T
(т. е. точке N
) относительно прямой l
, поэтому BP=BN
, и точка P
лежит на окружности с центром B
и радиусом BN
.
Покажем теперь, что любая точка P
этой окружности, отличная от N
, будет вершиной правильного треугольника DEP
при некотором выборе прямой l
. Для этого соединим точки P
и N
и через середину отрезка NP
проведём прямую, перпендикулярную NP
. Она пройдёт через точку B
, так как серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности. Основания D
и E
перпендикуляров, опущенных из точек A
и C
на построенную прямую l
, являются вершинами правильных треугольников DEP
и DEN
.