6581. Существует ли выпуклый пятиугольник (все углы меньше 180^{\circ}
) ABCDE
, у которого все углы ABD
, BCE
, CDA
, DEB
и EAC
— тупые?
Ответ. Не существует.
Решение. Пусть, для определённости, AC
— наименьшая диагональ пятиугольника. Поскольку AC\leqslant AD
, то в треугольнике ACD
угол DCA
не меньше угла ADC
. Но тогда в этом треугольнике два тупых угла, что невозможно.
Автор: Кноп К. А.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1995-96, XXII, окружной этап, 8 класс
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 75, с. 16