6582. В равнобедренном треугольнике ABC
(AB=BC
) на стороне AB
выбрана точка D
, и вокруг треугольников ADC
и BDC
описаны окружности S_{1}
и S_{2}
соответственно. Касательная, проведённая к S_{1}
в точке D
, пересекает второй раз окружность S_{2}
в точке M
. Докажите, что BM\parallel AC
.
Решение. Первый способ. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle MDC=\angle DAC=\angle BAC=\angle ACB.
Вписанные в окружность S_{2}
углы MBC
и MDC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle MBC=\angle MDC=\angle ACB.
Следовательно, BM\parallel AC
.
Второй способ. Пусть биссектриса угла B
треугольника ABC
вторично пересекает S_{2}
в точке O
. Тогда OD=OC
как хорды окружности S_{2}
, стягивающие равные дуги. Ясно также, что OA=OC
, а следовательно, O
— центр окружности S_{1}
. Поэтому \angle OBM=\angle ODM=90^{\circ}
, т. е. BO\perp BM
. Значит, BM\parallel AC
.
Автор: Сонкин М. Г.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1995-96, XXII, окружной этап, 9 класс
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 82, с. 17