6583. Дан угол с вершиной B
. Построим точку M
следующим образом. Возьмём произвольную равнобедренную трапецию, боковые стороны которой лежат на сторонах данного угла. Через две противоположные её вершины проведём касательные к описанной около неё окружности. Через M
обозначим точку пересечения этих касательных. Какую фигуру образуют все такие точки M
?
Ответ. Прямую, перпендикулярную биссектрисе угла B
(т. е. прямую, содержащую биссектрису угла, смежного с данным), без самой точки B
.
Решение. Пусть ADEC
— равнобедренная трапеция, DM
и CM
— касательные к её описанной окружности (т. е. M
— некоторая точка искомого ГМТ), K
— точка на продолжении отрезка DM
за точку D
.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle BDM=\angle ADK=\angle ACD=\angle CAE=\angle ECM=\angle BCM.
Значит, точки D
, B
, M
и C
лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы MBC
и MDC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle MBC=\angle MDC=\angle DAC=\angle ACB.
Значит, BM\parallel AC
, а так как треугольник ABC
равнобедренный, то BM
— биссектриса его внешнего угла при вершине B
, т. е. точка M
лежит на прямой l
, проходящей через точку B
перпендикулярно биссектрисе данного угла.
Покажем теперь, что любая точка M
прямой l
, отличная от B
, принадлежит искомому ГМТ. Для этого достаточно построить вспомогательную окружность, проходящую через точки B
и M
и пересекающую вторично каждую из сторон данного угла.
