6584. В треугольнике ABC
взята такая точка O
, что
\angle COA=\angle B+60^{\circ},~\angle COB=\angle A+60^{\circ},~\angle AOB=\angle C+60^{\circ}.
Докажите, что если из отрезков AO
, BO
и CO
можно составить треугольник, то из высот треугольника ABC
тоже можно составить треугольник и эти треугольники подобны.
Решение. Обозначим
AB=c,~BC=a,~AC=b,
\angle BAC=\alpha,~\angle ABC=\beta,~\angle ACB=\gamma.
Пусть D
— точка пересечения продолжения отрезка CO
с описанной окружностью треугольника ABC
. Тогда
\angle BDO=\angle BDC=\angle BAC=\alpha.
Поскольку BOC
— внешний угол треугольника BDO
, то
\angle OBD=\angle BOC-\angle BDO=(\alpha+60^{\circ})-\alpha=60^{\circ}.
Аналогично, \angle ODO=\beta
и \angle OAD=60^{\circ}
.
Рассмотрим треугольники OBD
и OAD
. По теореме синусов
\frac{BO}{\sin\alpha}=\frac{OD}{\sin60^{\circ}},~\frac{AO}{\sin\beta}=\frac{OD}{\sin60^{\circ}}.
Поэтому
\frac{BO}{\sin\alpha}=\frac{AO}{\sin\beta},
Пусть h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
— высоты треугольника ABC
, проведённые из вершин A
, B
и C
соответственно. Поскольку
h_{a}=c\sin\beta,~h_{b}=c\sin\alpha,
то из равенства
\frac{BO}{\sin\alpha}=\frac{AO}{\sin\beta},
следует, что
\frac{BO}{\frac{h_{b}}{c}}=\frac{AO}{\frac{h_{a}}{c}},~\frac{BO}{h_{b}}=\frac{AO}{h_{a}}.
Аналогично докажем, это отношение равно \frac{CO}{h_{c}}
. Следовательно, треугольник со сторонами, равными OA
, OB
и OC
, подобен треугольнику со сторонами, равными h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
.
Автор: Кноп К. А.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1995-96, XXII, окружной этап, 11 класс
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 103, с. 19