6585. Дан треугольник A_{0}B_{0}C_{0}
. На отрезке A_{0}B_{0}
отмечены точки A_{1}
, A_{2}
, …, A_{n}
, а на отрезке B_{0}C_{0}
— точки C_{1}
, C_{2}
, …, C_{n}
, причём все отрезки A_{i}C_{i+1}
(i=0
, 1, …, n-1
), параллельны между собой и все отрезки C_{i}A_{i+1}
(i=0
, 1, …, n-1
) — тоже. Отрезки C_{0}A_{1}
, A_{1}C_{2}
, A_{2}C_{1}
и C_{1}A_{0}
ограничивают некоторый параллелограмм, отрезки C_{1}A_{2}
, A_{2}C_{3}
, A_{3}C_{2}
и C_{2}A_{1}
— тоже и т. д. Докажите, что сумма площадей всех n-1
получившихся параллелограммов меньше половины площади треугольника A_{0}B_{0}C_{0}
.
Решение. Пусть D_{0}
— точка пересечения A_{0}C_{1}
и C_{0}A_{1}
, D_{1}
— точка пересечения A_{1}C_{2}
и C_{1}A_{2}
, D_{2}
— точка пересечения A_{2}C_{3}
и C_{2}A_{3}
и т. д.
Пусть прямая, проведённая через точку D_{1}
параллельно A_{0}B_{0}
, пересекает A_{0}C_{1}
в точке F
, а прямая, проведённая через точку D_{1}
параллельно B_{0}C_{0}
, пересекает C_{0}A_{1}
в точке G
. Тогда четырёхугольник A_{0}A_{1}D_{1}F
— параллелограмм, равновеликий параллелограмму D_{0}A_{1}D_{1}C_{1}
, так как эти параллелограммы имеют общие основание A_{1}D_{1}
и высоту, проведённую к этому основанию. Аналогично, равновелики параллелограммы C_{0}GD_{1}C_{1}
и D_{0}A_{1}D_{1}C_{1}
. Значит,
S_{D_{0}A_{1}D_{1}C_{1}}=\frac{1}{2}(S_{A_{0}A_{1}D_{1}F}+S_{C_{0}GD_{1}C_{1}})\lt\frac{1}{2}S_{A_{0}A_{1}D_{1}C_{1}C_{0}D_{0}}.
Аналогично,
S_{D_{1}A_{2}D_{2}C_{2}}\lt\frac{1}{2}S_{A_{1}A_{2}D_{2}C_{2}C_{1}D_{1}}.
Поэтому сумма площадей всех n-1
параллелограммов, о которых говорится в условии задачи, меньше
\frac{1}{2}(S_{\triangle A_{0}B_{0}C_{0}}-S_{A_{0}D_{0}C_{0}})\lt\frac{1}{2}S_{\triangle A_{0}B_{0}C_{0}},
что и требовалось доказать.
Автор: Медников Л. Э.
Автор: Сонкин М. Г.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1995-96, XXII, окружной этап, 10 класс
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 94, с. 18