6587. В треугольнике ABC
на стороне AC
нашлись такие точки D
и E
, что AB=AD
и BE=EC
(E
между A
и D
). Точка F
— середина дуги BC
(не содержащей точки A
) окружности, описанной около треугольника ABC
. Докажите, что точки B
, E
, D
и F
лежат на одной окружности.
Решение. Обозначим через \alpha
углы ABD
и ADB
при основании равнобедренного треугольника ABD
. Тогда
\angle BAD=180^{\circ}-2\alpha,~\cup BFC=2\angle BAD=360^{\circ}-4\alpha.
Поскольку F
— середина дуги, не содержащей точки A
, то
\angle CBF=\angle BCF=\frac{1}{4}\cup BFC=\frac{1}{4}(360^{\circ}-4\alpha)=90^{\circ}-\alpha.
Точки точки F
и E
равноудалены от концов отрезка BC
(BE=EC
и BF=CF
), поэтому EF
— серединный перпендикуляр к отрезку BC
. Значит,
\angle BFE=90^{\circ}-\angle CBF=90^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=\alpha.
Тогда из точек F
и D
, лежащих по одну сторону от прямой BE
, отрезок BE
виден под одним и тем же углом. Следовательно, точки B
, E
, D
и F
лежат на одной окружности.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1998-99, XXV, окружной этап, 9 класс
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 178, с. 28