6589. На плоскости дана окружность \omega
, точка A
, лежащая внутри \omega
, и точка B
, отличная от A
. Рассматриваются всевозможные треугольники BXY
такие, что точки X
и Y
лежат на окружности \omega
и хорда XY
проходит через точку A
. Докажите, что центры окружностей, описанных около треугольников BXY
, лежат на одной прямой.
Решение. По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд окружности произведение AX\cdot AY
не зависит от положения хорды XY
и равно некоторой постоянной величине d
. На прямой AB
выберем такую точку C
, что AC=\frac{d}{AB}
, причём точка A
лежит между B
и C
. Тогда
AB\cdot AC=AB\cdot\frac{d}{AB}=d=AX\cdot AY.
Значит, точки X
, B
, Y
и C
лежат на одной окружности (см. задачу 114). Поэтому окружности, описанные около треугольников BXY
, проходят через фиксированные точки B
и C
. Следовательно, их центры лежат на серединном перпендикуляре к отрезку BC
.