6591. Биссектрисы AD
и CE
треугольника ABC
пересекаются в точке O
. Прямая, симметричная AB
относительно CE
, пересекает прямую, симметричную BC
относительно AD
, в точке K
. Докажите, что KO\perp AC
.
Решение. Пусть прямые KE
и KD
пересекают прямую AC
в точках M
и N
соответственно. Поскольку CE
— биссектриса угла ACB
, то при симметрии относительно прямой CE
прямая AC
переходит в прямую BC
. По условию при этой симметрии прямая KM
переходит в прямую AB
, значит, точка пересечения M
прямых AC
и KM
переходит при этой симметрии в точку пересечения прямых BC
и AB
, т. е. в точку B
. Поэтому треугольник CME
переходит в треугольник CBE
. Следовательно,
\angle KMN=\angle EMC=\angle EMN=\angle EBC=\angle ABC.
Аналогично \angle KNM=\angle ABC
. Значит, треугольник KMN
равнобедренный, KM=MN
.
Кроме того, прямая CE
— серединный перпендикуляр к отрезку BM
, а прямая AD
— серединный перпендикуляр к отрезку BN
, значит, точка O
их пересечения — центр описанной окружности треугольника MBN
. Поэтому точка O
, как и точка K
, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку MN
. Следовательно, KO\perp AC
.
Автор: Сонкин М. Г.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1999-2000, XXVI, окружной этап, 8 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2000, № 5, с. 49
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 207, с. 31