6597. Известно, что точка, симметричная центру вписанной окружности треугольника ABC
относительно стороны BC
, лежит на описанной окружности этого треугольника. Найдите угол A
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Указание. Если O
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, то \angle BOC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Пусть O
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Тогда BO
и CO
— биссектрисы углов ABC
и ACB
. Поэтому
\angle BOC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770).
Пусть O_{1}
— точка, симметричная точке O
относительно прямой BC
. Тогда
\angle BO_{1}C=\angle BOC=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}.
По условию задачи точка O_{1}
лежит на описанной окружности треугольника ABC
, поэтому четырёхугольник ABO_{1}C
вписан в эту окружность. Значит,
\angle BO_{1}C+\angle BAC=180^{\circ},
или
\left(90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)+\alpha=180^{\circ}.
Из этого уравнения находим, что \alpha=60^{\circ}
.
Автор: Сендеров В. А.
Источник: Журнал «Квант». — 2003, № 5, с. 24