6599. Найдите наименьшую возможную длину суммы семи единичных векторов с неотрицательными координатами на плоскости Oxy
.
Ответ. 5.
Решение. Пусть \overrightarrow{s}
— сумма шести любых векторов. Сумма \overrightarrow{s}+\overrightarrow{a}
, где \overrightarrow{a}
— единичный вектор, будет иметь наименьшую длину, если вектор \overrightarrow{a}
составляет с вектором \overrightarrow{s}
наибольший возможный угол, т. е. направлен или по оси Ox
, или по оси Oy
.
Таким образом, в наименьшую сумму должны входить векторы только этих двух направлений. Ясно, что квадрат длины суммы k
векторов (0;1)
и 7-k
векторов (1;0)
равен k^{2}+(7-k)^{2}
и принимает наименьшее значение 25 при k=3
и k=4
.