6600. Найдите геометрическое место центров прямоугольников, вписанных в треугольник ABC
так, что одна сторона прямоугольника лежит на наибольшей стороне AB
, а концы противоположной стороны — на сторонах AC
и BC
.
Ответ. Отрезок (без концов), один конец которого — середина AB
, а второй — середина высоты CH
.
Указание. Медиана CP
треугольника ABC
проходит через середину любого отрезка с концами на сторонах AC
и BC
, параллельного стороне AB
.
Решение. Пусть сторона KL
прямоугольника KLMN
лежит на наибольшей стороне AB
треугольника ABC
, а вершины M
и N
— на сторонах BC
и AC
соответственно, P
— середина AB
.
Поскольку MN\parallel AB
, медиана CP
проходит через середину E
отрезка MN
. Отрезок EF
, соединяющий середины E
и F
сторон MN
и KL
прямоугольника KLMN
, и диагональ LN
прямоугольника пересекаются в центре X
прямоугольника. Поскольку отрезок EF
параллелен высоте CH
треугольника ABC
, луч PX
, содержащий медиану треугольника CPH
, проходит через середину Q
отрезка CH
. Таким образом центр любого прямоугольника, о котором говорится в условии задачи, лежит на отрезке PQ
.
Обратно, пусть X
— произвольная внутренняя точка отрезка PQ
, где P
— середина стороны AB
, а Q
— середина высоты CH
. Рассмотрим точку F
пересечения медианы CP
треугольника ABC
и прямой, проходящей через точку X
параллельно высоте CH
. Пусть эта прямая пересекает отрезок AB
в точке F
. Медиана PQ
прямоугольного треугольника CPH
проходит через середину отрезка EF
, значит, X
— середина EF
. Через точку F
проведём прямую, параллельную AB
. Пусть M
и N
— точки пересечения этой прямой со сторонами BC
и AC
соответственно, а L
и K
— основания перпендикуляров, опущенных из этих точек на сторону AB
. Медиана CP
треугольника ABC
проходит через середину отрезка MN
, значит, E
— середина MN
. Тогда F
— середина KL
, а середина X
отрезка EF
, соединяющего середины противоположных сторон MN
и KL
прямоугольника KLMN
— центр этого прямоугольника.