6604. Окружность с центром I
касается сторон AB
, BC
, CA
треугольника ABC
в точках C_{1}
, A_{1}
, B_{1}
соответственно. Прямые AI
, CI
, B_{1}I
пересекают A_{1}C_{1}
в точках X
, Y
, Z
соответственно. Докажите, что \angle YB_{1}Z=\angle XB_{1}Z
.
Решение. Поскольку B_{1}I\perp AC
, достаточно доказать, что \angle YB_{1}A=\angle XB_{1}C
.
Точки C
и I
равноудалены от концов отрезка A_{1}B_{1}
, значит, прямая CI
— серединный перпендикуляр к A_{1}B_{1}
, поэтому точки A_{1}
и B_{1}
симметричны относительно этой прямой. Тогда \angle YB_{1}C=\angle YA_{1}C
, следовательно,
\angle YB_{1}A_{1}=180^{\circ}-\angle YB_{1}C=180^{\circ}-\angle YA_{1}C=\angle BA_{1}C_{1}.
Аналогично \angle XB_{1}C=\angle A_{1}C_{1}B
, а так как \angle A_{1}C_{1}B=\angle BA_{1}C_{1}
, то \angle YB_{1}A=\angle XB_{1}C
. Что и требовалось доказать.
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2012, VIII, заочный тур, № 3, 8 класс